|
|
1. Rezolvaţi ecuaţia: unde n este un număr natural nenul fixat.
Soluţie:
Ecuaţia dată poate fi scris succesiv:
de unde x-1=0 ceea ce conduce la x=1.
2. Rezolvaţi ecuaţia de unde m este un număr natural fixat.
Soluţie:
Dacă atunci ecuaţia dată este echivalentă cu 2x2-mx+m=(x-3)(2x-4), ceea ce, după efectuarea înmulţirilor şi reducerea termenilor asemenea, conduce la (m-10)x=m-12. Dacă , atunci ultima ecuaţie are soluţia, iar acesta este impune Prin urmare, dacă atunci ecuaţia dată are soluţia, iar aceasta este .
3. Determinaţi perechile (x, z) pentru care
Soluţie:
Egalitatea din enunţ poate fi scris succesiv: (10y+x-y)
=8(x-y)=16, x-z=2.
Având în vedere şi faptul că (3,1), (4,2), (5,3), (6,4), (7,5), (8,6) şi (9,7).
4. Determinaţi perechile (x, y) de numere întregi pentru care 2(x+2)(y+3)-(x+1)(y+7)=9.
Soluţie:
Egalitatea din enunţ poate fi scrisă sub forma (x+3)(y-1)=1. (1)
Fie (x,y) o pereche de numere întregi ce verifică (1). Având în vedere că x+3, y-1 , egalitatea (1) are loc dacă şi numai dacă x+3=y-1=-1 sau x+3=y-1, de unde x=-4, y=0 sau x=-2, y=2.
5. Determinaţi numerele reale x şi y pentru care x(x-1)+z(y-1)=xy-1.
Soluţie:
Egalitatea din enunţ poate fi scris succesiv: x2-x+y2-y-xy+1=0 2x2-2x+2y2-2y-2xy+2=0 (x2-2xy+y2)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)=0 (x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=0.î
ÃŽntrucât x,y , ultima egalitate are loc dacă şi numai dacă x-y=0, x-1=0 şi y-1=0, de unde x=y=1.
6. Determinaţi perechile (x,y) de numere naturale nenule pentru care este număr întreg.
Soluţie I:
Întrucât, pentru orice
+
Dacă cerinţa de mai sus nu poate fi îndeplinită. Rămâne o singură posibilitate, şi anume x=y=1, când
Soluţie II:
Deoarece, pentru orice =x+y- dacă şi numai dacă xy-1=0, ceea ce are loc numai pentru x=y=1.
Prin urmare, există o singură pereche de numere naturale nenule, şi anume (1, 1), pentru care
7. Determinaţi numerele naturale x,y,z pentru care
Soluţie:
Egalitatea din enunţ poate fi scrisă succesiv: xyz+xy+zx+x+y+z+1=1981 xy(z+1)+(x+y) (z+1)+(z+1)=1981 (z+1)(xy+x+y+1)=1981 (x+1)(y+1)(z+1)=1981 . (1)
Fie x,y,z trei numere care verifică condiţiile din enunţ. Deoarece x+1, y+1, z+1 (numerele 7 şi 283 fiind prime) că egalitatea (1) are loc dacă şi numai dacă x+1=1, y+1=7, z+1=283, ceea ce conduce la x=0, y=6 şi z=282.
8. Determinaţi numerele naturale x,y,z pentru care
Soluţie:
Este necesar ca y
Egalitatea din enunţ poate fi scrisa sub forma xyz+ xz +2g-4=0 sau xyz+xz+2y+2=6, de unde (y+1)(xz+2)=6.
Fie x,z,y ( ) trei numere naturale care verifică egalitatea (1).
Deoarece y+1, are loc dacă şi numai dacă y+1=2, xz+2=3 sau y+1=3, xz+2=2.
Dacă y+1=2 şi xz+2=3, atunci y=1 şi xz=1, de unde x=y=z=1.
Dacă y+1=3 şi xz+2=2, atunci y=2 şi xz=0, de unde x=0, y=2, z=k
9. Fie x, y două numere prime, diferite de 2. Determinaţi perechile (x, y) de numere naturale pentru care x2-y2=ab.
Soluţie:
Pentru fixare să presupunem
Egalitatea din enunţ se poate scrie sub forma (x-y)(x+y)=ab.
Fie x,y două numere naturale ce verifică(1). Deoarece 0
ÃŽntrucât x-y, x+y şi a,b sunt numere prime (a ),egalitatea(1) are loc dacă numai dacă x-y=1, x+y=ab sau x-y=a,x+y=b,de unde
= z sau x= ,y+
Având în vedere că a şi b sunt numere prime, diferite de 2,ele nu pot fi decât impare ,ceea ce ne arată că ab+1,ab-1,b-a sunt numere pare şi deci Prin urmare, perechile căutate sunt:
10. Găsiţi 2 numere naturale, ştiind că diferenţa pătratelor este 1980, iar c.m.m.d.c. al lor este 6.
Soluţie:
Fie x,y(x>y) cele 2 numere ce satisfac condiţiile din enunţ.
|
|
