E=mc2
Forum de discutii libere
Subiecte din
Stiinta - Filosofie-Religie
Prezentari de subiecte tangentiale
Paranormal - Astrologie - Minuni geografice
Sfaturi practice
Meditatii online pentru bacalaureat
|
Nou pe simpatie:
Ioanacatalina la Simpatie.ro
 | Femeie
25 ani
Salaj
cauta Barbat
25 - 61 ani |
|
|
E=mc2InregistrareLoginPozeNu sunteti logat. Lista Forumurilor Pe Tematici
|
| #31 |
|
|
1. Sa se studieze variatia functiilor si sa se reprezinte grafic:
|
|
| |
|
| #32 |
|
|
METODA INDUCTIEI MATEMATICE
COMPLETE. ANALIZA COMBINATORIE. BINOMUL LUI NEWTON. SUME.
1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE
Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:
O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nłk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:
a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kÃŽN
b) (P(k), kŁn) Ţ P(n+1), (") nłk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kŁn rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice nłk.
2. PERMUTARI
Fie E={1, 2, …,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E ® E.
Notam permutarea in felul urmator
Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3…n
conditie de existenta: nÃŽN
conventie: 0!=1 ; 1!=1
Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!
3. ARANJAMENTE
Notam cu Ank
Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nłk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.
Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1
c.e. nłk
conventie: n=k Ţ Ann=Pn
4. COMBINARI Cnk
conventie: Cn0=Cnn=1 c.e. nłk
Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cnn-k
Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1
|
|
| |
|
| #33 |
|
|
5. BINOMUL LUI NEWTON
Daca a, bÃŽR, nÃŽN, atunci:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnkan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
sau
Tk+1=termen general
k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii
(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-…+(-1)n-kCnkan-kbk+…+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn
sau
Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.
2) Cn0, Cn1, Cn2,…,Cnn se numesc coeficienti binomiali
3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.
4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:
5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1
6) Identitatile utile:
a) Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+…+Ck-1k-1
b) Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0
7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale
Fie kł1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+…+nk
Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,…n.
|
|
| |
|
| #34 |
|
|
METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE
Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:
O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:
a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN
b) (P(k), kn) P(n+1), () nk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kn rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice nk.
2. PERMUTARI
Fie E={1, 2, …,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E -> E.
Notam permutarea in felul urmator
Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3…n
conditie de existenta: nN
conventie: 0!=1 ; 1!=1
Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!
3. ARANJAMENTE
Notam cu Ank
Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.
Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1
c.e. nk
conventie: n=k Ann=Pn
4. COMBINARI Cnk
conventie: Cn0=Cnn=1 c.e. nk
|
|
| |
|
| #35 |
|
|
BINOMUL LUI NEWTON
Daca a, bR, nN, atunci:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnkan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
sau
Tk+1=termen general
k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii
(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-…+(-1)n-kCnkan-kbk+…+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn
sau
Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.
2) Cn0, Cn1, Cn2,…,Cnn se numesc coeficienti binomiali
3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.
4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:
5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1
6) Identitatile utile:
a) Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+…+Ck-1k-1
b) Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0
|
|
| |
|
| #36 |
|
|
Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale
Fie k1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+…+nk
Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,…n.
Folosim dezvoltarea (a+1)3=a3+3a2+3a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,…n.
Folosim dezvoltarea (a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,…n
Caz particular
6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE
Teorema : Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci:
2an=an-1+an+1
Def: Fie numerele a1, a2, a3,…,an in progresie aritmetica, daca an=a1+(n-1)r sau an=an-1+1, unde: an= ultimul termen
a1=primul termen
an-1=penultimul termen
n=numarul de termeni
r=ratia progresiei aritmetice
Obs: Pentru verificare r=a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an-an-1
|
|
| |
|
| #37 |
|
|
Teorema: Fie numerele bn-1, bn, bn+1 in progresie geometrica. Atunci
bn2=bn-1.bn+1
Def: Fie numerele b1, b2,…bn in progresie geometrica, daca bn=b1.qn sau bn=bn-1.q unde: bn=ultimul termen
b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice
Obs: pentru verificare q=a2/a1=a3/a2=…=an/an-1
|
|
| |
|
