Simpatie.ro - matrimoniale
E=mc2
Forum de discutii libere Subiecte din Stiinta - Filosofie-Religie Prezentari de subiecte tangentiale Paranormal - Astrologie - Minuni geografice Sfaturi practice Meditatii online pentru bacalaureat 		Nou pe simpatie:
runnyroxy
Femeie
25 ani
Suceava
cauta Barbat
26 - 57 ani
E=mc2InregistrareLoginPozeNu sunteti logat. Lista Forumurilor Pe Tematici
E=mc2 / Matematica comentata /

15 martie 2006

 Pagini:  1 2 3 Moderat de mihneamihai
#11
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
2.Fie M si N doua multimi, * o lege de compozitie pe M, ° o lege de compozitie pe N si f:M®N o functie surjectiva astfel incat
                               f(x*y)=f(x)°f(y), (") x, y eM.
a)Daca legea de compozitie * este asociativa (comutativa) atunci legea de compozitie ° este asociativa (comutativa).
b)Functia f:Z®Z, f(x)=1-x are proprietatea
                               f(xy)=f(x)°f(y), (") x, y eZ
unde xy este produsul uzual in Z, iar ° este compunerea circulara.
 

a)Fie u, v, w eN.
   f surjectiva Ţ($) x, y, z eM a. i. u=f(x), v=f(y), w=f(z).
u°v=f(x)°f(y)=f(x*y)=f(y*x)=f(y)°f(x)=v°u
               
(u°v)°w=(f(x)°f(y))°f(z)=f(x*y)°f(z)=f((x*y)*z)=
                 =f(x*(y*z))=f(x)°f(y*z)=f(x)°(f(y)°f(z))=u°(v°w)
b)(")x, y eZ Ţ
Ţf(x)°f(y)=f(x)+f(y)-f(x)f(y)=1-x+1-y-(1-x)(1-y)=
                  =2-x-y-1+y+x-xy=1-xy=f(xy).

3.Fie d un numar intreg liber de patrate si:
a)H este o parte stabila a lui M2(Q) in raport cu inmultirea matricelor.
b)(") matrice AeH este inversabila in raport cu operatia indusa.

a)Fie A, B e H,

a``=aa`+dbb` e Q,  b``=ba`+ab` e Q
daca AB e HŢa``ą0 sau b``ą0.
Pp. a``=0 si b``=0
 
   
#12
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
Frumusetea  matematicii  6

15 martie 2006 - Frumusetea matematicii 6 - Matematica comentata
15 martie 2006 – poza de mnovicov, in Matematica comentata · 22.3KB
 
   
#13
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
Ţx=a` si y=b` sol a sist:

d este liber de patrate si aą0 sau bą0 Ţ det Aą0 caci altfel Öd e Q.Contradic
Dar din det Aą0 Ţ sol sist este x=y=0
Ţ a``ą0 sau b``ą0
Ţ AB e H.

b)I2 e H si A e H. Arat ca exista X e H
a.i. XA=AX=I2
Cum aą0 sau bą0 Ţxą0 sau yą0.
Asadar:

Se verifica si egalitatea XA=I2, deci A` exista si A`=X e H.
 
   
#14
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
Frumusetea  matematicii  7

15 martie 2006 - Frumusetea matematicii 7 - Matematica comentata
15 martie 2006 – poza de mnovicov, in Matematica comentata · 18.8KB
 
   
#15
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
4.Fie M=N´N.Pe multimea M introducem legile de compozitie:
                    (x, y)+(z, w)=(x+z, y+w),
                    (x, y)(z, w)=(xz+yw, xw+yz)
oricare ar fi perechile (x, y) si (z, w) din M. Aratati ca aceste legi de compozitie sunt asociative, comutative si cu element neutru.

Asociatiovitatea:
a=(x, y), b=(z, w), g=(u, t) e M.
,,+’’ (a+b)+g=[(x+z, y+w)]+(u, t)=((x+z)+u, (y+w)+t)=(x+z+u, y+w+t)=
                      =(x+(z+u), y+(w+t))=(x, y)+(z+u, w+t)=a+(b+g)
,,×’’ (ab)g=(xz+yw, xw+yz)(u, t)=
                =(xzu+ywu+xwt+yzt, xzt+ywt+xwu+yzu)
       a(bg)=(x, y)(zu+wt, zt+wu)=
                =(xzu+xwt+yzt+ywu, xzt+xwu+yzu+ywt)

Comutativitatea:
a+b=(x, y)+(z, w)=(x+z, y+w)=(z+x, w+y)=b+a
ab=(x, y)(z, w)=(xz+yw, xw+yz)=(zx+wy, wx+zy)=ba

Element neutru:
($) e1 e M a.i. a+e1=e1+a=a, (") a e M
e1=(0, 0)   a+e1=(x, y)+(0, 0)=(x, y)=a  Ţe1=(0, 0) el. Neutru pt ,,+’’
($) e2 e M a.i. ae2=e2a=a, (") a e M
e2=(1, 0) ae2=(x, y)(1, 0)=(x, y)=a Ţe2=(1, 0) el. Neutru pt ,,×’’

5.Fie a, b, c e Z, bą0. Pe Z definim legea de compozitie ,,*’’
                          x*y=axy+b(x+y)+c, (") x, y e Z.
a)Aratati ca * este lege de compozitie asociativa daca si numai daca
b)Cand are loc a) legea de compozitie * are el. Neutru daca si numai daca b/c.

a)* asociativa Ű (") x, y, z e Z, (x*y)*z=x*(y*z) Ű
 
   
#16
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
Frumusetea  matematicii 8

15 martie 2006 - Frumusetea matematicii 8 - Matematica comentata
15 martie 2006 – poza de mnovicov, in Matematica comentata · 13KB
 
   
#17
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
e Z a.i. x*e=e*x=x, (") x e Z
            Ţx*e=x
                axe+b(x+e)+c=x
                (ae+b-1)x+be+c=0
             Ţae+b-1=0 si be=-c Ţe=-c/b e Z Ţb divide pe c.
,,Ü’’($) k e Z a.i. c=kb, ("), x e Z,
                     x*(-k)=-axk+b(x-k)+c=x(-ak+b)+c-kb=x(-ac/b+b)=
                               =x(b-ac)/b=xb/b=x
Ţ -k el. neutru.

6.Pe R se defineste letea de compozitie
                                *:R´R®R, (x, y)®x*y=xy+2ax+by.
Determinati a si b astfel incat legea de compozitie sa fie comutativa si asociativa.

* comutativa
Ţx*y=y*xŰxy+2ax+by=yx+2ay+bx
                  Ű2a(x-y)=b(x-y)
                  Ű2a=b
* asociativa
Ţ(x*y)*z=x*(y*z)
(x*y)*z=[xy+bx+by]*z=xyz+bxy+byz+b(xy+bx+by+z)=
            =xyz+bxz+byz+bxy+b  x+b  y+bz.
x*(y*z)=x*[yz+by+bz]=xyz+bxy+bxz+bx+byz+b  y+b  z.
Ţb=0 sau b=1
Ţa=0, b=0
    a=1/2, b=1.

7.Pe R+={a e R/ a>0} definim legile de compozitie:
 
   
#18
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
Frumusetea  matematicii  9

15 martie 2006 - Frumusetea matematicii 9 - Matematica comentata
15 martie 2006 – poza de mnovicov, in Matematica comentata · 23.7KB
 
   
#19
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
Aratati ca aceste legi de3 compozitie sunt comutative si nu sunt asociative. Admit element neutru?

Comutativitatea
Non asociativitatea


Element neutru:
^:($) e e R a.i. a^e=e^a=a, (") a e R
   Ţ(a+e)/2=a
   Ţa+e=2a
   Ţe=a    fals, a variabil, e unic.
T:($) e e R a.i. aTe=eTa=a, (") a e R

8.Pe M2(R) se defineste legea de compozitie *
                      A*B=AB+BA,  (") A,B e M2(R)
Studiati daca legea de compozitie * este asocitiva, comutativa si daca admite element neutru.

asociativitatea
(A*B)*C=(AB+BA)*C=ABC+BAC+CAB+CBA
A*(B*C)=A*(BC+CB)=ABC+ACB+BCA+CBA
(A*B)*CąA*(B*C)
Ţ* nu este asociativa

comutativitatea
A*B=AB+BA=BA+AB=B*A
Ţ* este comutativa

el. neutru
($) E e M2(R) a.i. A*E=E*A=A, (") A e M2(R)
A*E=A
ŢAE+EA=A
ŢE=I2/2.

9.Fie n>0 un numar intreg si
                      M={(a, b)|a, b e Z, (a, n)=1}
a)Daca (a, b), (c, d) e MŢ(ac, ad+bc) e M
b)Legea de compozitie * definita pe M prin:
                            (a, b)*(c, d)=(ac, ad+bc)
   este comutativa si asociativa.
c)Determinati elementul neutru si elementele simetrizabile.


a)(a, b) e M; (c, d) e M; a,b,c,d e Z
   (a, n)=1 Ţ (c, n)=1
   a e Z; c e Z Ţ ac e Z  Ţ(ac, n)=1
   a e Z; d e Z; b e Z; c e Z Ţad+bc e Z
Ţ(ac, ad+bc) e M

b)(a, b)*(c, d)=(ac, ad+bc)=(ca, cb+da)=(c, d)*(a, b)
Ţ* este comutativa
   [(a, b)*(c, d)]*(g, h)=(ac, ad+bc)*(g, h)=(acg, ach+adg+bcg)
   (a, b)*[(c, d)*(g, h)]=(a, b)*(cg, ch+dg)=(acg, ach+adg+bcg)
Ţ* este asociativa

c)el. neutru
($) e=(x, y) e M a.i. (a, b)*(x, y)=(x, y)*(a, b)=(a, b), (") (a, b) e M
(a, b)*(x, y)=(a, b)
(ax, ay+bx)=(a, b)
Ţax=a Ţ x=1
Ţay+bx=b Ţay+b=b Ţay=0 Ţy=0
Ţ(x, y)=(1, 0)
   el. simetrizabil
(") (a, b) e M, ($) (a`, b`) e M a.i. (a, b)*(a`, b`)=(1, 0)
(aa`, ab`+ba`)=(1, 0)
Ţaa`=1 Ţa`=1/a  a` e Z Ţa`=±1
Ţab`+ba`=0 Ţb`=b
Ţ(a`, b`)=(±1,b)
 
   
#20
mnovicov
Administrator
Postari: 1985
Frumusetea  matematicii  10

15 martie 2006 - Frumusetea matematicii 10 - Matematica comentata
15 martie 2006 – poza de mnovicov, in Matematica comentata · 18.1KB
 
   
Pagini:  1 2 3  
Mergi la