E=mc2
Forum de discutii libere Subiecte din Stiinta - Filosofie-Religie Prezentari de subiecte tangentiale Paranormal - Astrologie - Minuni geografice Sfaturi practice Meditatii online pentru bacalaureat 		Lista Forumurilor Pe Tematici
E=mc2 | Inregistrare | Login

POZE E=MC2

Nu sunteti logat. 		Nou pe simpatie:
Gabriela Gaby pe Simpatie.ro
Femeie
25 ani
Suceava
cauta Barbat
26 - 71 ani
E=mc2 / Matematica comentata / Referate Moderat de mihneamihai
Autor
Mesaj Pagini: 1
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Ecuatii diferentiale simple


    Ecuatiile diferentiale sunt un subiect de analiza matematica foarte important, avand aplicatii in cadrul matematicii precum si in alte domenii ale stiintelor (fizica, chimie, biologie, etc.)
   
DEFINITIE: Se numeste ecuatie diferentiala o relatie intre o variabila independenta x, functia cautata  y = y(x) si derivatele sale y’ , y’’ ,…,y   , de forma F (x,y’,y’’,…,y ) = 0.
Daca functia cautata y = y (x) este o functie de o singura variabila x, ecuatia diferentiala se numeste ordinara.

Exemple de modelare prin ecuatii diferentiale a unor fenomene  din  domeniul  stiintific, economic, social.

1.    f’ + kf = 0 (ecuatia dezintegrarii substantelor radioactive; f(t) reprezinta cantitatea de substanta radioactivala momentul t, iar k > 0 este un coefficient de proportionalitate al dezintegrarii substantei respective; f’(t) reprezinta viteza de dezintegrare radioactiva).

2.         = 9,8 (ecuatia caderii unui corp in apropierea suprafetei Pamantului).


3.    mf’’(t) = F (legea a doua a lui Newton; daca miscarea se face pe o axa, atunci notand f(t) pozitia punctului material (de masa m) la momentul t, viteza de deplasare la momentul t este f’(t) si acceleratia este f’’(t); F reprezinta forta care actioneaza asupra punctului, ea depinzand in fiecare moment t de pozitia f(t) a punctului si de viteza f’(t) a acestuia).

4.    2Өâ€Â? =  -9,8 • sinӨ (ecuatia pendulului matematic; Ө  depinde de timpul t  si este unghiul format defirul inextensibil cu verticala )

.
5.         = 0.01 • P – (0.0001) P   (ecuatia corespunde unui model demografic; P fiind functie de timp si reprezinta numarul de indivizi la momentul t).

6.    Lqâ€Â?(t) + Rq’(t) +    q (t)  (descrie evolutia unui circuit electric supus unei tensiuni E(t), circuit care contine o rezistenta R, o inductanta L, un condensator de capacitate C, toate legate in serie; q (t) reprezinta sarcina electrica a condensatorului la momentul t; q’(t) = I (t) este intensitatea curentului in circuit la momentul t).


Termenul de ecuatie sugereaza adesea deea de solutie. In ciuda varietatii metodelor de rezolvare a ecuatiilor diferentiale, exista numeroase ecuatii care nu pot fi rezolvate complet.
Este necesara deci o clasificare a ecuatiilor diferentiale, pentru a vedea, functie de tip, ce metoda poate fi utilizata pentru rezolvarea ei.
   
DEFINITE: Se numeste ordinul ecuatiiei diferentiale, cel mai mare dintre ordinele derivatei care figureaza in ecuatie.
1.    Solutiile ecuatiilor diferentiale

    Am intalnit notiunea de solutie relativ la ecuatii algebrice, trigonometrice, vectoriale, matriceale. Prin analogie, ar trebui ca solutie pentru o ecuatie diferentiala sa fie o functie (avand un numar de derivate) pentru care ecuatia sa fie verificata.Numai ca situatia nu este intotdeauna simpla cum se poate vedea in cazul ecuatiei de ordinal I .
   
DEFINITIE:  Se numeste solutie a unei ecuatii diferentiale de ordin n pe un interval (a ,b) o functie y = φ (x) definite pe acest interval cu derivatele sale pana la ordinal n si pentru care substituind y =  φ (x) in ecuatia diferentiala, aceasta devine o identitate in raport cu x din (a ,b).
   
A determina toate functiile care sunt sulutii ale unei ecuatii diferentiale inseamna a rezolva aceasta ecuatie diferentiala.

Se numeste  solutie particulara  a unei ecuatii diferentiale , o solutie  obtinuta plecand de la solutia generala φ (x , c)  pentru o valoare oarecare determinate a constantei arbitrare c.
A gasi o solutie particulara, deci o functie y = y(x)  care satisface o ecuatie diferentiala si in acelasi timp una sau mai multe conditii suplimentare se spune ca se rezolva o ecuatie diferentiala cu conditii initiale sau ca se rezolva o problema Cauchy.


2.    Ecuatii diferentiale de ordinal I

    DEFINITIE: Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinal I este
F ( x , y, y’) = 0
unde y = y( x ) este functie derivabila definita pe (a , b).


3.    Ecuatii diferentiale cu variabile separabile

    Formal o ecuatie diferentiala cu  variabile separabile este de  tipul  y’ = f(x) g(x) , unde f,g sunt functii continue.
Vom neglija o abordare teoretica a acestei probleme, dar diferitele dificultati le vom ilustra prin probleme.

    Pentru a rezolva aceasta ecuatie trebuie inmultiti sau impartiti ambii membrii ai ecuatiei printr-o expresie astfel incat sa se obtina un membru depinzand numai de x, iar celalalt membru sa depinda de y (se spune ca am separate variabilele in cei doi membri) si apoi se integreaza ambii membrii.

Impartirea ambilor membrii ai ecoatie print-o expresie continand necunoscutele x si y  poate conduce la pierderea de solutii  care anuleaza aceasta expresie.

Primul pas al rezolvarii acestei ecuatii este de a separa variabilele in ecuatia data rescind-o .
Al doilea pas este de integrare a fiecarui membru  (acest lucru este posibil teoretic daca de exemplu  f,g  sunt continue pe un interval  ( a , b )  si daca g nu se anuleaza pe acel interval).
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
1.     Rezolvaţi ecuaţia:  unde n este un număr natural nenul fixat.

    Soluţie:

    Ecuaţia dată poate fi scris succesiv: 
de unde x-1=0   ceea ce conduce la x=1.

2.    Rezolvaţi ecuaţia  de unde m este un număr natural fixat.

    Soluţie:
   
Dacă  atunci ecuaţia dată este echivalentă cu 2x2-mx+m=(x-3)(2x-4), ceea ce, după efectuarea înmulţirilor şi reducerea termenilor asemenea, conduce la (m-10)x=m-12. Dacă  , atunci ultima ecuaţie are soluţia, iar acesta este   impune   Prin urmare, dacă   atunci ecuaţia dată are soluţia, iar aceasta este  .

3.    Determinaţi perechile (x, z) pentru care 

Soluţie:
Egalitatea din enunţ poate fi scris succesiv:  (10y+x-y)

=8(x-y)=16, x-z=2.
    Având în vedere şi faptul că  (3,1), (4,2), (5,3), (6,4), (7,5), (8,6) şi (9,7).

4.    Determinaţi perechile (x, y) de numere întregi pentru care 2(x+2)(y+3)-(x+1)(y+7)=9.

Soluţie:
   
    Egalitatea din enunţ poate fi scrisă sub forma (x+3)(y-1)=1. (1)
    Fie (x,y) o pereche de numere întregi ce verifică (1). Având în vedere că x+3, y-1 , egalitatea (1) are loc dacă şi numai dacă x+3=y-1=-1 sau x+3=y-1, de unde x=-4, y=0 sau x=-2, y=2.

5.    Determinaţi numerele reale x şi y pentru care x(x-1)+z(y-1)=xy-1.

    Soluţie:

    Egalitatea din enunţ poate fi scris succesiv: x2-x+y2-y-xy+1=0 2x2-2x+2y2-2y-2xy+2=0  (x2-2xy+y2)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)=0 (x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=0.î
    ÃŽntrucât x,y , ultima egalitate are loc dacă şi numai dacă x-y=0, x-1=0 şi y-1=0, de unde x=y=1.

6.    Determinaţi perechile (x,y) de numere naturale nenule pentru care        este număr întreg.
   
    Soluţie I:
   
ÃŽntrucât, pentru orice   
+
Dacă   cerinţa de mai sus nu poate fi îndeplinită. Rămâne o singură posibilitate, şi anume x=y=1, când 

    Soluţie II:

          Deoarece, pentru orice   =x+y-    dacă şi numai dacă xy-1=0, ceea ce are loc numai pentru x=y=1.
    Prin urmare, există o singură pereche de numere naturale nenule, şi anume (1, 1), pentru care 

7.    Determinaţi numerele naturale x,y,z pentru  care 

    Soluţie:

    Egalitatea din enunţ poate fi scrisă succesiv: xyz+xy+zx+x+y+z+1=1981 xy(z+1)+(x+y) (z+1)+(z+1)=1981 (z+1)(xy+x+y+1)=1981 (x+1)(y+1)(z+1)=1981 . (1)
    Fie x,y,z trei numere care verifică condiţiile din enunţ. Deoarece x+1, y+1, z+1 (numerele 7 şi 283 fiind prime) că egalitatea (1) are loc dacă şi numai dacă x+1=1, y+1=7, z+1=283, ceea ce conduce la x=0, y=6 şi z=282.

8.    Determinaţi numerele naturale x,y,z pentru care


    Soluţie:

    Este necesar ca y
    Egalitatea din enunţ poate fi scrisa sub forma xyz+ xz +2g-4=0 sau xyz+xz+2y+2=6,   de  unde (y+1)(xz+2)=6.
    Fie x,z,y ( ) trei numere naturale care verifică egalitatea (1).
    Deoarece y+1,   are loc dacă şi numai dacă y+1=2, xz+2=3 sau y+1=3, xz+2=2.
    Dacă y+1=2 şi xz+2=3, atunci y=1 şi xz=1, de unde x=y=z=1.
    Dacă y+1=3 şi xz+2=2, atunci y=2 şi xz=0, de unde x=0, y=2, z=k 

9.    Fie x, y două numere prime, diferite de 2. Determinaţi perechile (x, y) de numere naturale pentru care x2-y2=ab.

    Soluţie:

    Pentru fixare să presupunem 
    Egalitatea din enunţ se poate scrie sub forma (x-y)(x+y)=ab.
    Fie x,y două numere naturale ce verifică(1). Deoarece  0
ÃŽntrucât x-y, x+y şi a,b sunt numere prime (a ),egalitatea(1) are loc dacă numai dacă x-y=1, x+y=ab sau x-y=a,x+y=b,de unde
                                            = z  sau x= ,y+
Având în vedere că a şi b sunt numere prime, diferite de 2,ele nu pot fi decât impare ,ceea ce ne arată că ab+1,ab-1,b-a sunt numere pare şi deci   Prin urmare, perechile căutate sunt: 
10.      Găsiţi 2 numere naturale, ştiind că diferenţa pătratelor este 1980, iar c.m.m.d.c. al lor este 6.
          Soluţie:
           Fie x,y(x>y) cele 2 numere ce satisfac condiţiile din enunţ.
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Asimptote


a) asimptotă verticală:
                              sau

- se calculează limitele laterale în punctul x0 sau ,,aâ€Â?

Exemplu:



b)    asimptote orizontale

- deci se calculează limită din f(x)

Exemplu:  tot la  funcţia de mai sus


c)  asimptote oblice
                         
       























-Cea mai buna inspiratie…
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Calculul ecuatiilor matriciale


   Fie A, BÃŽMm× m ( C), A = a11   a12   a 13 ……...a1m  , B= b11 b 12  b13 ……b1m
                                             a21   a22   a 23 ……...a2m         b21 b 22  b23 ……b2m
                                             a31   a32   a 33 ……...a3m         b31 b 32  b33 ……b3m
                                             ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦         ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦ 
                                             am1  am2  a m3 ……..amm         bm1b m2  bm3 …..bmm   

astfel încât A så fie ne singularå ( deci så existeA-1). Så consideråm ecua-tiile matriceale :
               AX=B, YA=B
înmultind prima ecuatie la stânga cu A-1 si pe a doua la dreapta cu A-1, se obtine:   
                A-1(AX)= A-1B, (YA) A-1= BA-1
folosind asociativitatea matricilor se obtine:         
                 (A-1A)X= A-1B, Y(A A-1)= BA-1
dar (A-1A)=Im si folosind proprietatea matricii identice,se va obtine:
                 X= A-1B, Y= BA-1
iar prin calculul A-1B si B A-1 se va obtine X, Y. De obicei X,Y sunt diferite deoarece înmultirea matricilor nu este comutativå:

 

    SÃ¥ se rezolve urmÃ¥toarele ecuatii matriciale:

1.   2   1              5    6                     2    1      5    6
               Ãƒâ€šÃ‚· X =               ,notez A=             ,B=
      2   3              6    8            2    3      6    8

A-1·/A·X=B ⇒ A-1·(A·X)= A-1B⇒ (A-1·A)·X= A-1B⇒I2·X= A-1B⇒X= A-1B
detA = 2·3 – 2 = 4
A-1=(1/ detA)·A*
        a*11   a*21   
A*=
        a*12   a*22

a*11 =(-1)2 ·3= 3     
a*12  =(-1)3 ·2= -2         
a*21 =(-1)3 ·1= -1           
a*22 =(-1)4 ·2=  2
        3   -1   
A*=
        -2   2
                   3   -1     3/4  -1/4
A-1=(1/4) ·            =
                  -2   2      -1/2  1/2 
   
      3/4 -1/4    5   6     9/4 5/2
X=               Ãƒâ€šÃ‚·          =
      -1/2 1/2    6   8      1/2   1    


2.         -1  -2      1    2                    -1  -2      1    2
     X·             =             ,notez A=             ,B=
            5    8       -3   6            5    8      -3   6

X·A=B/·A-1⇒(X·A)·A-1=B·A-1⇒X·(A·A-1)=B ·A-1⇒X ·I2=B· A-1⇒X= B ·A-1
detA = -8 +10 =2
A-1=(1/ detA)·A*
        a*11   a*21   
A*=
        a*12   a*22

a*11 =(-1)2 ·8= 8     
a*12  =(-1)3 ·(-2)=2         
a*21 =(-1)3 ·5= -5           
a*22 =(-1)4 ·(-1)= -1

        8    2   
A*=
        -5  -1

                  8     2       4     1
A-1=(1/2) ·            =
                  -5   -1    -5/2 -1/2
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
7   2      4         1       23     6
X=          ·                 =
      -3  5     -5/2 -1/2    -49/4 -11/2    

3.   -1   2        4   6        8   13                   -1   2      4   6         8   13
                ·X·          =              ,notez A=             ,B=           ,C =   
      -3   8        5   8       -4   -7            -3   8      5   8         -4   -7

A·X·B=C/·B-1⇒(A·X·B)·B-1=C·B-1⇒(A·X)·(B·B-1)=C·B-1⇒(A·X)·I2=C·B-1⇒ (A-1)·/A·X=C·B-1⇒A-1(A·X)=A-1·C·B-1⇒(A-1·A)·X=A-1·C·B-1⇒I2·X=A1·C· B-1⇒X=A-1·C·B-1
detA = -8 +6 =-2
A-1=(1/ detA)·A*
        a*11   a*21   
A*=
        a*12   a*22

a*11 =(-1)2 ·8= 8     
a*12  =(-1)3 ·(-3)=3         
a*21 =(-1)3 ·2= -2           
a*22 =(-1)4 ·(-1)= -1

        8    -2   
A*=
        3    -1

                       8   -2      -4      1
A-1=[1/-(2)] ·            =
                       3   -1     -3/2  1/2 

detB= 32-30 =2
B-1=(1/ detB)·B*
        b*11   b*21   
B*=
        b*12   b*22

b*11 =(-1)2 ·8= 8     
b*12  =(-1)3 ·5=-5         
b*21 =(-1)3 ·6= -6           
b*22 =(-1)4 ·4= 4

        8    -6   
B*=
        -5    4

                   8   -6       4      -3
B-1=(1/2) ·            =
                   -5   4     -5/2    2 


   
       -4    1      8   13       4    -3     -36 -59    4   -3     7/2  -10   
X=               Ãƒâ€šÃ‚·            ·               =              ·            =
     -3/2  1/2   -4   -7     -5/2  2      -14 -23   -5/2  2     3/2  -4 


4.         1  2  3      -1  5  3                     1  2  3         -1  5  3
     X·   0  1  2  =   2  1 -1  ,notez A=   0  1  2  ,B=  2   1 -1
            -1 2  1      -3  4 -5                -1  2  1         -3  4 -5

X·A=B/·A-1⇒(X·A)·A-1=B·A-1⇒X·(A·A-1)=B ·A-1⇒X ·I2=B· A-1⇒X= B ·A-1
detA = 1– 4 + 3 – 4 = -4
A-1=(1/ detA)·A*
        a*11  a*21 a*31 
A*= a*12  a*22 a*32
        a*13  a*23 a*33

a*11 =(-1)2 ·(-3)= -3     
a*12  =(-1)3 ·2=-2         
a*13 =(-1)4 ·1= 1     
a*21 =(-1)3 ·(-4)=4     
a*22 =(-1)4 ·4= 4     
a*23 =(-1)5 ·4= 4           
a*31 =(-1)4 ·1= 1
a*32 =(-1)5 ·2=-2     
a*33 =(-1)6 ·1= 1     

        -3  4  1   
A*= -2  4 -2
         1 -4  1

                      -3  4  1
A-1=[1/(-4)] · -2  4 -2         
                       1 -4  1

                      -1  5  3     -3  4  1                  -4  4   -8         1   -1   2
X = [1/(-4)] ·  2   1 -1 ·  -2  4 -2 = [1/(-4)]· -9 16  -1   =  9/4 -4  1/4
                      -3  4 -5      1 -4  1                  -4 24 -16        1   -6   4

5.    1  1  1  1             1  2  3  4                     1  1  1  1          1  2  3  4   
       0  1  1  1  · X =   0  1  2  3 ,notez A=    0  1  1  1 ,B=   0  1  2  3     
       0  0  1  1             0  0  1  2                     0  0  1  1          0  0  1  2
       0  0  0  1             0  0  0  1                     0  0  0  1          0  0  0  1

A-1·/A·X=B ⇒ A-1·(A·X)= A-1B⇒ (A-1·A)·X= A-1B⇒I2·X= A-1B⇒X= A-1B
             1  1  1  1
detA =   0  1  1  1   =  1         
       0  0  1  1
             0  0  0  1

A-1=(1/ detA)·A*
        a*11   a*21  a*31  a*41   
A*= a*12   a*22  a*32  a*42
        a*13   a*23  a*33  a*43
        a*14   a*24  a*34  a*44


a*11 =(-1)2 ·1= 1     a*21 =(-1)3 ·1=-1     a*31 =(-1)4 ·0= 0     a*41 =(-1)5 ·0= 0
a*12  =(-1)3 ·0= 0     a*22 =(-1)4 ·1= 1     a*32 =(-1)5 ·1=-1     a*42 =(-1)6 ·0= 0
a*13 =(-1)4 ·0= 0     a*23 =(-1)5 ·0= 0     a*33 =(-1)6 ·1= 1      a*43 =(-1)7 ·1=-1
a*14 =(-1)5 ·0= 0     a*24 =(-1)6 ·0= 0     a*34 =(-1)7 ·0= 0         a*44 =(-1)8 ·1=  1

         1 -1  0  0   
A*=  0  1 -1  0 = A-1
         0  0  1 -1
         0  0  0  1
         1 -1  0  0     1  2  3  4      1  1  1  1
X =  0  1 -1  0  ·  0  1  2  3  =  0  1  1  1
         0  0  1 -1     0  0  1  2      0  0  1  1
         0  0  0  1     0  0  0  1       0  0  0  1

6.   2  2  3         1  2 -3      0 -1 -1                    2  2  3          1  2 -3          0 -1 -1
      1 -1  0  ·X·  0  1  2  =  0  1  1  ,notez A=   1 -1  0 ,B=   0  1  2  ,C = 0  1  1
     -1  2  1         0  0  1      0  0  1                    -1  2  1          0  0  1          0  0  1   

A·X·B=C/·B-1⇒(A·X·B)·B-1=C·B-1⇒(A·X)·(B·B-1)=C·B-1⇒(A·X)·I2=C·B-1⇒ (A-1)·/A·X=C·B-1⇒A-1(A·X)=A-1·C·B-1⇒(A-1·A)·X=A-1·C·B-1⇒I2·X=A1·C· B-1⇒X=A-1·C·B-1
detA = -2+6-3-2=-1
A-1=(1/ detA)·A*
        a*11   a*21 a*31 
A*= a*12  a*22 a*32
        a*13  a*23 a*33

a*11 =(-1)2 ·(-1)= -1    a*21 =(-1)3 ·(-4)= 4     a*31 =(-1)4 ·3= 3   
a*12  =(-1)3 ·1=-1         a*22 =(-1)4 ·5= 5         a*32 =(-1)5 ·(-3)= 3       
a*13 =(-1)4 ·1= 1          a*23 =(-1)5 ·6= -6       a*33 =(-1)6 ·(-4)= -4   

        -1  4  3   
A*= -1  5  3
         1 -6 -4

                      -1  4  3      1 -4 -3
A-1=[1/(-1)] · -1  5  3 =   1 -5 -3
                       1 -6 -4     -1  6  4

detB= 1=1
B-1=(1/ detB)·B*
        b*11   b*21 b*31   
B*= b*12  b*22 b*32
        b*13   b*23 b*33

b*11 =(-1)2 ·1= 1          b*21 =(-1)3 ·2= -2        b*31 =(-1)4 ·7= 7   
b*12  =(-1)3 ·0= 0          b*22 =(-1)4 ·1= 1         b*32 =(-1)5 ·2= -2       
b*13 =(-1)4 ·0= 0          b*23 =(-1)5 ·0= 0          b*33 =(-1)6 ·1= 1   
         1 -2  7   
B*=  0  1 -2  = B-1
         0  0  1
   
      1 -4 -3      0 -1 -1    1 -2  7     0 -5 -8     1 -2  7     0 -5  2
X= 1 -5 -3  ·   0  1  1  · 0  1 -2  = 0 -6 -9  ·  0  1 -2 =  0 -6  3
     -1  6  4      0  0  1     0  0  1      0  7 11    0  0  1      0  7 -3 

7.         5  3  4                           5   3  4   
     X·  -6 -3 -5  = (3  2  1) ,notez A= -6 -3 -5  ,B= ( 3 2 1)
            4  2  2                          4   2  2   

X·A=B/·A-1⇒(X·A)·A-1=B·A-1⇒X·(A·A-1)=B ·A-1⇒X ·I2=B· A-1⇒X= B ·A-1
detA = -30-48-60+48+50+36 = -4
A-1=(1/ detA)·A*
        a*11  a*21 a*31 
A*= a*12  a*22 a*32
        a*13  a*23 a*33

a*11 =(-1)2 ·4= 4     a*21 =(-1)3 ·(-2)= 2     a*31 =(-1)4 ·(-3)= -3     
a*12  =(-1)3 ·8=-8    a*22 =(-1)4 ·(-6)= -6    a*32 =(-1)5 ·(-1)= 1   
a*13 =(-1)4 ·0= 0     a*23 =(-1)5 ·(-2)= 2     a*33 =(-1)6 ·3= 3

         4  2 -3   
A*= -8 -6  1
         0  2  3

                                        4  2 -3                 
X = [1/(-4)] · (3  2  1) ·  -8 -6  1 = [1/(-4)]·(-4 -4 -4) = ( 1  1  1)
                                        0  2  3                 
8.         2  0  1       1  2  3                                 2  0  1          1  2  3
     X·   4  s  2  =   0  1  2   s∈ R   ,notez A=    4  s  2  ,B=   0  1  2
            1  1  1      -1  1  2                             1  1  1         -1  1  2

X·A=B/·A-1⇒(X·A)·A-1=B·A-1⇒X·(A·A-1)=B ·A-1⇒X ·I2=B· A-1⇒X= B ·A-1
A-1=(1/ detA)·A*
detA = 2s+4-s-4=s
Cazul I  s=0 ⇒ ∄ A-1 
Cazul II s≠0⇒∃ A-1⇒ detA=s
A-1=(1/ detA)·A*
        a*11  a*21 a*31 
A*= a*12  a*22 a*32
        a*13  a*23 a*33

a*11 =(-1)2 ·(s-2)= s-2     
a*12  =(-1)3 ·2=-2         
a*13 =(-1)4 ·(4-s)=4-s     
a*21 =(-1)3 ·(-1)=1     
a*22 =(-1)4 ·1= 1     
a*23 =(-1)5 ·2=-2           
a*31 =(-1)4 ·(-s)=-s
a*32 =(-1)5 ·0=0     
a*33 =(-1)6 ·2s=2s     

        s-2  1 -s   
A*=  -2  1  0
       4-s -2 2s 

                   1  2  3     s-2  1 –s            6-2s  -3  5s       (6-2s)/s -3/s  5
X = 1 / s ·   0  1  2  ·   -2   1  0  =1/s ·  2-2s  -3  4s  =  (2-2s)/s -3/s  4
                  -1  1  2    4-s -2  2s            8-3s  -4  5s      (8-3s)/s -4/s  5


9.         1  2  3       6  9  8                     1  2  3          6  9  8
     X·   2  3  4  =               ,notez A=   2  3  4  ,B= 
            3  4  1       0  1  6                 3  4  1          0  1  6

X·A=B/·A-1⇒(X·A)·A-1=B·A-1⇒X·(A·A-1)=B ·A-1⇒X ·I2=B· A-1⇒X= B ·A-1
detA = 3+24+24-27-16-4 = 4
A-1=(1/ detA)·A*
        a*11  a*21 a*31 
A*= a*12  a*22 a*32
        a*13  a*23 a*33

a*11 =(-1)2 ·(-13)= -13     
a*12  =(-1)3 ·(-10)=10         
a*13 =(-1)4 ·(-1)= -1     
a*21 =(-1)3 ·(-10)=10     
a*22 =(-1)4 ·(-8)= -8     
a*23 =(-1)5 ·(-2)= 2           
a*31 =(-1)4 ·(-1)= -1
a*32 =(-1)5 ·(-2)=2     
a*33 =(-1)6 ·(-1)= -1     

        -13  10 -1   
A*=  10  -8  2
          -1   2  -1

                   6  9  8     -13  10  -1                  4  4   4       1  1  1
X = (1/4) ·              ·   10   -8  2   = (1/-4)·                = 
                   0  1  6       -1   2   -1                  4  4  -4       1  1 -1

























-Cea mai buna inspiratie…
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Graficele functiilor trigonometrice


ÃŽn trasarea graficelor functiiolr trigonometrice se urmaresc mai multe etape:

I
a) gasirea domeniul maxim de definitie a functiei
b) gasirea intersectiei graficului cu axa Ox  (f(x)=0)
c) gasirea intersectiei graficului cu axa Oy (se calculeaza f(0) )
II
a)    se studiaza paritatea sau imparitatea functiei
b)    se studiaza periodicitatea functiei
c)    se studiaza continuitatea functiei
d)    se studiaza semnul functiei pe domeniul de definitie
III
a)    se cauta asimptota orizontala
b)    se cauta asimptota oblica
c)    se cauta asimptota verticala în punctele de acumulare unde functia nu este definita
IV
a)    se calculeaza derivata I
b)    se gasesc radacinile derivatei I si valoarea functiei în aceste radacini
c)    se gaseste semnul derivatei I
V
a)    se calculeaza derivata II
b)    se gasesc radacinile derivatei II si valoarea functiei în aceste radacini
c)    se gaseste semnul derivatei II
VI
a) se construieste tabelul de variatie a functiilor
VII
a) se traseaza graficul functiei
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Progresii aritmetice


1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE

Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant “ r � ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica .

An+1 = An + r

2.NOTATIE : An -:

3.PROPRIETATI

P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu                primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.

                           An = A1 + (n-1) * r

P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor .
                           
              A1 + An  = A2 + An-1 = … = Ai + An-i+1




P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi .

                            Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2

P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen :

                             Sn = (A1 + An) *n / 2

P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia :

                             Sn = [ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/2
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
4.APLICATII

1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat  de formula :

a)    An = 2(la puterea „-n “)
A0 = 2(la puterea  „0“) = 1
A1 = 2(la puterea „-1“) = 1/2
    A2 = 2(la puterea  „-2“) = 1/4
    A3 = 2(la puterea  „-3“) = 1/8
    A4 = 2(la puterea  „-4“) = 1/16
    A5 = 2(la puterea  „-5“) = 1/32

b)    Xn = 5+4*n
X0 = 5         X3 = 17
X1 = 9         X4 = 21 
X2 = 13      X5 = 25

2(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :

a)    1, 3, 5, 7, 9, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n –1
b)    2, 4, 6, 8, 10, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n
c)    3, -3, 3, -3, … ;  => An = 3* (-1)(la puterea n)
d)    1/3, 1/9, 1/27, 1/81, … ;  => An = 1/3(la puterea n)

3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula
Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :

a)    -102  (DA)
6- 4*n = -102  => 4*n = 108  => n = 27
b)    -132  (NU)
6- 4*n = -132  => 4*n = 138  => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)
c)    100
6- 4*n = 100  => 4*n = -94  => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)

7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :

a)    A1 = 7 , r = 2
A2 = A1 + r = 9
A3 = 11
A4 = 13
b)    A1 = -3 , r = 5
A2 = A1 + r = 2
A3 = 7
A4 = 12

16(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
a)    1 + 7 + 13 + … +X = 280
An = A1 + (n-1)*r
X = 1 + (n-1)*6
X = 6*n –5
Sn = (A1 + An)*n/2 = 280
(A1 + X)*n/2 = 280  => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280
6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0
D = 3364
=> n1 = 10 ; n2 = -28 (nu convine)
=>X = 6*10 -5 = 55

b)    (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + … + (X + 28) = 155
An = A1 + (n-1)*r
X + 28 = X + 1 + (n-1)*3
27 = (n-1)*3  => n = 10
S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155  => 2*X + 29 = 31  => X = 1

20(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.

S1 = A1
S2 = A1 + A2
S3 = A1 + A2 + A3
…
Sn-1 = A1 + A2 + … + An-1
Sn = A1 + A2 + … + An-1 + An

A1 = S1 = 4
A2 = S2 - S1 = 1
A3 = S3 - S2 = 3
A4 = S4 - S3 = 5
2*A2 = A1 + A3  => 2 = 3 + 4 (F)
=>Sirul nu este o progresie aritmetica






   
Progresii geometrice
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE

   Fie un sir (Bn) n>=1 , B1<>0
   Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie.

                                   Bn = Bn-1 *q

2.NOTATIE :  :-: (Bn) n>=1

3.PROPRIETATI

P1: Daca avem “ n â€Â? termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere  de cati termeni sunt inaintea lui.
                               
                             Bn = B1 *q(la puterea n-1)

P2: Daca B1, B2, … , Bn sunt  “ n “ termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.

                      B1*Bn = B2*Bn-1 = … = Bi*Bn-i+1




P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.

                             Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1

R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.

P4: Suma primilor “ n “ termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :
                               
                                  Sn = B1 * q(la puterea n)-1/q-1

4.APLICATII

26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :

a)    B1 = 6 , q = 2
B2 = B1*q = 12
B3 = B2*q = 24
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
B4 = B3*q = 48
B5 = B4*q = 96
b) B2 = -10 , q = 1/2
     B1 = B2/q = -20
     B3 = B2*q = -5
     B4 = B3*q = -5/2
     B5 = B4*q = -5/4

27(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :


a)    Y1, Y2, 24, 36, 54, … ;
36 = 24*q  =>  q = 36/24 = 3/2
24 = Y2*q  =>  24 = Y2*3/2  =>  Y2 = 24*2/3 = 16
    16 = Y1*q  =>  16 = Y1*3/2  =>  Y1 = 32/3

b)    Y1, Y2, 225, -135, 81, … ;
-135 = 225*q  =>  q = -135/225 = -9/17   
225 = Y2*q  =>  225 = Y2*-9/17  =>  Y2 = -425
-425 = Y1*-9/17  =>  Y1 = 7225/9

28(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn) :

a)    B3 = 6 , B5 = 24 , sa se gaseasca B7, B9, B10;
B3 = B1*q(la puterea 2)
B5 = B1*q(la puterea 4)
=> 6/24 = q(la puterea -2)  => q = 2
    B3 = B1*q(la puterea 2)  => B1 = 3/2
    =>  B7 = B1*q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96
    =>  B9 = B1*q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384
=>B10 = B1*q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768
       
30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :

a)    B1 = 2
Bn+1 = 3*Bn

Bn = B1*q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)
Bn+1 = Bn*q  =>  3*Bn = Bn*q  =>  q = 3
đ    Bn = 2/3*3(la puterea n)




1.    Rezolvati ecuatia : 1+X+X²+…+X¹ºº = 0
Sn = 1*(1- X¹º¹)/(1- X)
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
1-    X <>0 => X<>1
=> 1- X¹º¹ = 0  => X¹º¹ = 1  => X¹º¹ = cos0 +i*sin0
=> Xk = ¹º¹cos0 + i*sin0 = cos2k_/101 + i*sin2k_/101
k=0  => X=1 (nu convine)
k=1  => X=cos2_/101 + i*sin2_/101
…
k=100  => X=cos200_/101 + i*sin200_/101


2.    Intr-o progresie geometrica avem S3= 40, S6= 60. Sa se gaseasca S9.

S3= B1*(q³-1)/(q-1)
S6= B1*(q -1)/(q-1)
=> S3/S6= (q³-1)/(q -1)= 2/3
=> 3*q³-3 = 2*q -2
    => 2*q +3*q³-1= 0
Notam: q³ = y
=> 2*y²-3*y+1= 0
     Δ= 1 => y1=2,  y2=1
=> q³=1  => q=1(nu convine)
=> q³=2  => q=³2
=> S3= B1*(q³-1)/(q-1)= 40  => B1=40(³2 -1)
=>S9= B1*(q –1)/(q-1) = 280


3.    Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica.


   (b+x)² = (a+x)*(c+x)
   b² + 2bx + x² = ac +ax +cx +x²
   b²-ac = x( a+c-2b)
   => x =(b²-ac)/(a+c-2b)

4.    Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:
A4 + A1=7/16
A3- A2 + A1=7/8

A1*q³ + A1=7/16  => A1(q³ + 1)=7/16
A1*q² -A1*q +A1=7/8  => A1(q² -q +1)=7/8
=> (q³+1)/(q² -q +1)=1/2  => q+1=1/2  => q= -1/2
    => A1(-1/8 +1) =7/16  => A1= 1/2
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Distanţe

·    Distanţa dintre două puncte
Distanţa dintre două puncte este segmentul de dreaptă ce uneşte cele două puncte.

·    Distanţa de la un punct la o dreaptă
Distanţa de la un punct la o dreapta este lungimea perpendicularei duse din acest punct pe dreapta dată.

·    Distanţa de la un punct la un plan
Prin distanţa de la un punct M la un plan a, inţelegem lungimea MN, unde NÃŽa este piciorul perpendicularei duse din M pe a.

·    Distanţa dintre două drepte paralele
Distanţa dintre două drepte paralele este distanţa de la un punct de pe una din drepte la cealaltă dreptă.

·    Distanţa dintre două plane paralele
Distanţa dintre două plane paralele este distanţa de la un punct dintr-un plan la celălalt plan.

ü    Observaţie: Pentru calcularea distanţei de la un punct la o dreaptă construim  perpendiculara din acel punct pe acea dreptă şi căutăm un triunghi eventual dreptunghic în care această distanţă să fie o latură sau linie importantă.
ü    Observatie(2): Segmentul cel mai scurt de la un punct exterior unui plan la acel plan este segmentul perpendicular pe planul dat.
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
ÃŽmpărţirea prin X-a. Schema lui Horner


T1:Restul împărţirii unui polinom f <> 0 prin polinomul X-a este egal cu valoarea f(a) a polinomului f în a.


Demonstraţie:
-aplicăm teorema împărţirii cu rest

  č f= ( X – a ) q + r ,unde grad de r < grad  ( X – a ) =1    (1)

  č grad r <= 0 (nr. Complex)

în 1 facem X=a č f ( a ) = ( a – a ) q ( a )+r ( a )
                          č f ( a ) = r( a )

dar r( a )=polinom constant r ( a )=r čr = f ( a )                   

Această teoremă ne ajută să găsim restul împărţirii unui polinom oarecare prin polinomul X-a fără a mai face împărţirea.
                                                                                                     
Ex: Să se găsească restul împărţirii polinomului f = X 3  - 2 X 2  + X + 1
prin binomul X-2.


                            R= f(2)=2 3 – 2*2 2  +2 +1=3.

Teorema are dezavantajul că nu ne spune nimic asupra cîtului împărţirii polinomului f prin X-a.
Procedeu de aflare a câtului :


f = an X n +a n-1 X n-1   +…..+ a 0

      f = ( X – a ) q + r   (2)

grad  f = n č grad q = n – 1
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
č q = bn-1 X n-1   +bn-2 X n-2   +…..+b0




(2) an X n +a n-1 X n-1+...+ a 0 = (X-a)( bn-1 X n-1   +bn-2 X n-2+...+b0 )+ r


                               n-1                   n-2                                                n-1                   n-2                                                    n-1
(X - a) ( bn-1 X   +bn-2 X   +…..+b0 ) =bn-1 X  +bn-2 X  +….+ b0 X- abn-1 X   -

                                                                         n-2     
                                                            -abn-2 X  -…- ab 0

           n                                               n-1                                         n-2           
=bn-1 X  +(bn-2  - abn-1 ) X  +(bn-3 – abn-2 )X  +…+ ( b0  -  ab1 )X –ab0



                    n                      n-1                                                   n                                               n-1                                          n-2
(2) anX +a n-1 X    +…..+ a 0==bn-1 X  +(bn-2  - abn-1 ) X  +(bn-3 – abn-2 )X  +

+…+ ( b0  -  ab1 )X –ab0


                          a n =b n-1

               a n-1  =b n-2  - ab n-1

č    a n-2  =b n-3  - ab n-2                                         (3)

……………………………..

               a 1  =b 0    -ab 1

               a 0  =r       -ab 0




                         b n-1 = a n

               b n-2  = a n-1 + ab n-1

č    b n-3  = a n-2 + ab n-2                                             (4)

……………………………..

                b 0  = a 1 + ab 1
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
r  =    a 0 + ab 0






    X n         X n-1           X n-2        ………………..     X 1         X 0


    an           an-1              an-2              …………………    a1           a0



      an          an-1+abn-1    an-2 +abn-2   ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦  a1+ab1   a0+ab0             


    bn-1        bn-2               bn-3           ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦Ã¢â‚¬Â¦  b0                r





Observaţie:schema lui Horner ne oferă doar un procedeu de obţinere al câtului nu şi unul de determinare a restului!
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
ÃŽmpărţirea polinoamelor

1.Teorema împărţirii cu rest

Fiind date două polinoame oarecare cu coeficienţi complecşi f şi g cu g<>0, atunci există două plinoame cu coeficienţi complecşi q şi r a .î.

f = gq+r unde grad r < grad g (1)

ÃŽn plus polinoamele q şi r sunt unice satisfăcând proprietatea (1)


f = deîmpărţit
g = împărţitor
q = cât
r = rest


Demonstraţie:

1.Existenţa

f = an Xn +  an-1 X n-1  +………+a1  X+a0 C[x]

g= bm Xm +bm-1 X m-1 +………+b1 X +b0              C[x]

grad f = n
grad g = m

1.n < m

q = 0

f=0*g+f

2.n >= m
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
an / bm
an Xn / bm Xm
q1=  (an / bm) * X n-m

f= ( (an / bm) * X n-m ) *g + f1        (1)

grad f1 = n1 <grad f = n

an Xn +  an-1 X n-1  +………+a1  X+a0/ : bmXm

f1= an1 Xn1 +  an1-1 X n1-1  +………+a11  X+a01

Dacă gr. f1 =n1

i) gr f1 < gr g     STOP

ii) dacă gr f1 >= gr g

f1= ( (an1 / bm) * X n1-m ) *g + f2        (2)

gr f2=n2 <n1 < n

i)    gr n2<m  STOP
ii)    gr n2>=m

f2= ( (an2 / bm) * X n2-m ) *g + f3        (3)

…………………
p paşi
p+1

fp= ( (anp / bm) * X np-m ) *g + fp+1        (p+1)

gr f p+1<m      STOP
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
f1=  f -   ( (an / bm) * X n-m ) *g                                 /
                                                                             
f2=  f1 - ( (an1 / bm) * X n1-m ) *g                           /

f3=  f2-  ( (an2 / bm) * X n2-m ) *g                        /      +

………………………………….                 /

f p+1=  f p - ((anp / bm) * X np-m) *g          /


-----------------------------------------------------------


f p+1 =  f - g ((an / bm) * X n-m  +  (an1 / bm) * X n1-m  +…….+             

               (anp / bm) * X np-m   )

f = fp+1 +g ((an / bm) * X n-m  +  (an1 / bm) * X n1-m  +…….+             

               (anp / bm) * X np-m   )

q = ((an / bm) * X n-m  +  (an1 / bm) * X n1-m  +…….+             

               (anp / bm) * X np-m   )

r = f p+1

  Gr   f p+1< m
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Progresii aritmetice


1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE

Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant “ r � ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica .

An+1 = An + r

2.NOTATIE : An -:

3.PROPRIETATI

P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu                primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.

                           An = A1 + (n-1) * r

P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor .
                           
              A1 + An  = A2 + An-1 = … = Ai + An-i+1




P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi .
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2

P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen :

                             Sn = (A1 + An) *n / 2

P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia :

                             Sn = [ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/2

4.APLICATII

1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat  de formula :

a)    An = 2(la puterea „-n “)
A0 = 2(la puterea  „0“) = 1
A1 = 2(la puterea „-1“) = 1/2
    A2 = 2(la puterea  „-2“) = 1/4
    A3 = 2(la puterea  „-3“) = 1/8
    A4 = 2(la puterea  „-4“) = 1/16
    A5 = 2(la puterea  „-5“) = 1/32

b)    Xn = 5+4*n
X0 = 5         X3 = 17
X1 = 9         X4 = 21 
X2 = 13      X5 = 25

2(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :

a)    1, 3, 5, 7, 9, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n –
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
b)    2, 4, 6, 8, 10, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n
c)    3, -3, 3, -3, … ;  => An = 3* (-1)(la puterea n)
d)    1/3, 1/9, 1/27, 1/81, … ;  => An = 1/3(la puterea n)

3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula
Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :

a)    -102  (DA)
6- 4*n = -102  => 4*n = 108  => n = 27
b)    -132  (NU)
6- 4*n = -132  => 4*n = 138  => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)
c)    100
6- 4*n = 100  => 4*n = -94  => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)

7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :

a)    A1 = 7 , r = 2
A2 = A1 + r = 9
A3 = 11
A4 = 13
b)    A1 = -3 , r = 5
A2 = A1 + r = 2
A3 = 7
A4 = 12

16(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :

a)    1 + 7 + 13 + … +X = 280
An = A1 + (n-1)*r
X = 1 + (n-1)*6
X = 6*n –5
Sn = (A1 + An)*n/2 = 280
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
(A1 + X)*n/2 = 280  => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280
6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0
D = 3364
=> n1 = 10 ; n2 = -28 (nu convine)
=>X = 6*10 -5 = 55

b)    (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + … + (X + 28) = 155
An = A1 + (n-1)*r
X + 28 = X + 1 + (n-1)*3
27 = (n-1)*3  => n = 10
S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155  => 2*X + 29 = 31  => X = 1

20(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.

S1 = A1
S2 = A1 + A2
S3 = A1 + A2 + A3
…
Sn-1 = A1 + A2 + … + An-1
Sn = A1 + A2 + … + An-1 + An

A1 = S1 = 4
A2 = S2 - S1 = 1
A3 = S3 - S2 = 3
A4 = S4 - S3 = 5
2*A2 = A1 + A3  => 2 = 3 + 4 (F)
=>Sirul nu este o progresie aritmetica
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Progresii geometrice


     

1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE

   Fie un sir (Bn) n>=1 , B1<>0
   Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie.

                                   Bn = Bn-1 *q

2.NOTATIE :  :-: (Bn) n>=1

3.PROPRIETATI

P1: Daca avem “ n â€Â? termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere  de cati termeni sunt inaintea lui.
                               
                             Bn = B1 *q(la puterea n-1)

P2: Daca B1, B2, … , Bn sunt  “ n “ termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.

                      B1*Bn = B2*Bn-1 = … = Bi*Bn-i+1
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.

                             Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1

R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.

P4: Suma primilor “ n “ termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :
                               
                                  Sn = B1 * q(la puterea n)-1/q-1

4.APLICATII

26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :

a)    B1 = 6 , q = 2
B2 = B1*q = 12
B3 = B2*q = 24
B4 = B3*q = 48
B5 = B4*q = 96
b) B2 = -10 , q = 1/2
     B1 = B2/q = -20
     B3 = B2*q = -5
     B4 = B3*q = -5/2
     B5 = B4*q = -5/4

27(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
a)    Y1, Y2, 24, 36, 54, … ;
36 = 24*q  =>  q = 36/24 = 3/2
24 = Y2*q  =>  24 = Y2*3/2  =>  Y2 = 24*2/3 = 16
    16 = Y1*q  =>  16 = Y1*3/2  =>  Y1 = 32/3

b)    Y1, Y2, 225, -135, 81, … ;
-135 = 225*q  =>  q = -135/225 = -9/17   
225 = Y2*q  =>  225 = Y2*-9/17  =>  Y2 = -425
-425 = Y1*-9/17  =>  Y1 = 7225/9

28(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn) :

a)    B3 = 6 , B5 = 24 , sa se gaseasca B7, B9, B10;
B3 = B1*q(la puterea 2)
B5 = B1*q(la puterea 4)
=> 6/24 = q(la puterea -2)  => q = 2
    B3 = B1*q(la puterea 2)  => B1 = 3/2
    =>  B7 = B1*q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96
    =>  B9 = B1*q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384
=>B10 = B1*q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768
       
30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :

a)    B1 = 2
Bn+1 = 3*Bn

Bn = B1*q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)
Bn+1 = Bn*q  =>  3*Bn = Bn*q  =>  q = 3
đ    Bn = 2/3*3(la puterea n)
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
1.    Rezolvati ecuatia : 1+X+X²+…+X¹ºº = 0
Sn = 1*(1- X¹º¹)/(1- X)
1-    X <>0 => X<>1
=> 1- X¹º¹ = 0  => X¹º¹ = 1  => X¹º¹ = cos0 +i*sin0
=> Xk = ¹º¹cos0 + i*sin0 = cos2k_/101 + i*sin2k_/101
k=0  => X=1 (nu convine)
k=1  => X=cos2_/101 + i*sin2_/101
…
k=100  => X=cos200_/101 + i*sin200_/101


2.    Intr-o progresie geometrica avem S3= 40, S6= 60. Sa se gaseasca S9.

S3= B1*(q³-1)/(q-1)
S6= B1*(q -1)/(q-1)
=> S3/S6= (q³-1)/(q -1)= 2/3
=> 3*q³-3 = 2*q -2
    => 2*q +3*q³-1= 0
Notam: q³ = y
=> 2*y²-3*y+1= 0
     Δ= 1 => y1=2,  y2=1
=> q³=1  => q=1(nu convine)
=> q³=2  => q=³2
=> S3= B1*(q³-1)/(q-1)= 40  => B1=40(³2 -1)
=>S9= B1*(q –1)/(q-1) = 280


3.    Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica.


   (b+x)² = (a+x)*(c+x)
   b² + 2bx + x² = ac +ax +cx +x²
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
b²-ac = x( a+c-2b)
   => x =(b²-ac)/(a+c-2b)

4.    Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:
A4 + A1=7/16
A3- A2 + A1=7/8

A1*q³ + A1=7/16  => A1(q³ + 1)=7/16
A1*q² -A1*q +A1=7/8  => A1(q² -q +1)=7/8
=> (q³+1)/(q² -q +1)=1/2  => q+1=1/2  => q= -1/2
    => A1(-1/8 +1) =7/16  => A1= 1/2
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Trasarea graficului unei functii

              In studiul variatiei unei functii si trasarea graficului se parcurg urmatoarele etape de determinare succesiva a unor elemente caracteristice ale functiei:
I.    Domeniul de definitie:
a)    Determinarea domeniului de definitie (in cazul expresiilor rationale numitorul trebuie sa fie diferit de zero; in cazul celor irationale cantitatea de sub radical trebuie sa fie cel putin zero)
b)    Intersectia graficului cu axa Ox: f(x)=0
c)    Intersectia graficului cu axa Oy:f(0)=…
d)    Calculul limitelor:
II.    Semnul functiei:
a)    Determinarea paritatii sau imparitatii functiei(daca functia este para,f(x)=f(-x),atunci graficul este simetric fata de axa ordonatelor; daca functia este impara,-f(x)=f(-x), atunci graficul este simetric fata de originea axelor).
b)    Determinarea periodicitatii functiei si, in cazul functiilor periodice, a perioadei T.
c)    Continuitatea functiei.
III.      Asimptote:
a)    orizontale;
b)    oblice;
c)    verticale.
IV.       Studiul primei derivate:
a)    Se determina multimea E` inclusa in domeniul de definitie, pe care functia f este derivabila si apoi se calculeaza f `(x).
b)    Se rezolva ecuatia f `(x)=0, ale carei radacini sunt, eventual, puncte critice ale functiei.
c)    Se calculeaza valoarile functiei pe radacinile derivatei I.
d)    Determinarea semnului derivatei I, care da monotonia functiei.
V.      Studiul derivatei a doua:
a)    Se determina multimea E`` inclusa in E`, pe care functia f ` este derivabila si apoi se calculeaza f ``(x).
b)    Se rezolva ecuatia f ``(x)=0, iar radacinile pot fi puncte de inflexiune.
c)    Se calculeaza valoarile functiei pe radacinile derivatei II.
d)    Determinarea semnului derivateiei II, care ne da convexitatea sau concavitatea functiei.
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
VI.       Formarea tabloului de variatie a functiei f – tablou in care se trec pentru sistematizare, rezultateleobtinute la punctele precedente:

x   
f `(x)   
f ``(x)   
f(x)   

VII.       Trasarea graficului functiei:- conform rezultatelorsistematizate in tabloul de variatie – intr-un sistem de axe carteziene.


APLICATII:
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
1.    Sa se studieze variatia functiilor si sa se reprezinte grafic:
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
METODA INDUCTIEI MATEMATICE
COMPLETE. ANALIZA COMBINATORIE. BINOMUL LUI NEWTON. SUME.

1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE
Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:
      O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nłk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:
a)    Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kÃŽN
b)    (P(k), kŁn) Ţ P(n+1), (") nłk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kŁn rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice nłk.

2. PERMUTARI

    Fie E={1, 2, …,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E ® E.
    Notam permutarea in felul urmator
    Notam numarul de permutari Pn:        Pn= n!=1.2.3…n
conditie de existenta:             nÃŽN
conventie:                     0!=1 ;  1!=1
Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!
3. ARANJAMENTE

    Notam cu Ank
    Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nłk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.

        Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1
c.e. nłk
conventie:  n=k Ţ Ann=Pn
4. COMBINARI Cnk
conventie:   Cn0=Cnn=1        c.e. nłk

Formule pentru combinari complementare:  Cnk=Cnn-k
                                                                       Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
5. BINOMUL LUI NEWTON
Daca a, bÃŽR, nÃŽN, atunci:
    (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnkan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
sau    
Tk+1=termen general
k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii 
                                                   
(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-…+(-1)n-kCnkan-kbk+…+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn
sau
Obs:  1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.
2) Cn0, Cn1, Cn2,…,Cnn se numesc coeficienti binomiali
3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.
4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:
5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:
    Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n
    Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1
6) Identitatile utile:
a)    Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+…+Ck-1k-1
b)    Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0

7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Fie kł1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+…+nk
         Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,…n.
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE

Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:

O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:

a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN

b) (P(k), kn) P(n+1), () nk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kn rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice nk.



2. PERMUTARI



Fie E={1, 2, …,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E -> E.



Notam permutarea in felul urmator

Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3…n

conditie de existenta: nN

conventie: 0!=1 ; 1!=1

Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!

3. ARANJAMENTE



Notam cu Ank

Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.



Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1

c.e. nk

conventie: n=k Ann=Pn



4. COMBINARI Cnk

conventie: Cn0=Cnn=1 c.e. nk
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
BINOMUL LUI NEWTON

Daca a, bR, nN, atunci:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnkan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
sau

Tk+1=termen general

k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii
(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-…+(-1)n-kCnkan-kbk+…+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn
sau

Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.

2) Cn0, Cn1, Cn2,…,Cnn se numesc coeficienti binomiali

3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.



4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:

5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:

Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n

Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1

6) Identitatile utile:

a) Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+…+Ck-1k-1

b) Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale
Fie k1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+…+nk

Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,…n.
Folosim dezvoltarea (a+1)3=a3+3a2+3a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,…n.
Folosim dezvoltarea (a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,…n
Caz particular
6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE
Teorema : Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci:
2an=an-1+an+1
Def: Fie numerele a1, a2, a3,…,an in progresie aritmetica, daca an=a1+(n-1)r sau an=an-1+1, unde: an= ultimul termen

a1=primul termen

an-1=penultimul termen

n=numarul de termeni

r=ratia progresiei aritmetice
Obs: Pentru verificare r=a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an-an-1
pus acum 20 ani
   
mnovicov
Administrator

Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 1985
Teorema: Fie numerele bn-1, bn, bn+1 in progresie geometrica. Atunci

bn2=bn-1.bn+1

Def: Fie numerele b1, b2,…bn in progresie geometrica, daca bn=b1.qn sau bn=bn-1.q unde: bn=ultimul termen

b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice
Obs: pentru verificare q=a2/a1=a3/a2=…=an/an-1
pus acum 20 ani
   
Pagini: 1  

Mergi la